5.+Algunas+aplicaciones+de+la+derivada

5. Algunas aplicaciones de la derivada. ** 5.1 Estudio de la monotonía de una función.  Existe una intima relación entre la tasa de variación media de una función en un intervalo y la monotonía de la función en el citado intervalo. Las relaciones obtenidas pueden verse a continuación. 
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De manera análoga a la relación entre la monotonía de una función y la tasa de variación media, existe relación entre aquella y la tasa de variación instantánea o derivada. La citada relación se pone de manifiesto en la siguiente propiedad:  En las situación que se cumpla //f’// (x 0 ) = 0, no podemos afirmar nada acerca del crecimiento o decrecimiento de la función //f// en el punto de abcisa x 0. ** Cálculo de los intervalos de monotonía de una función. **  Es conveniente seguir los pasos siguientes:
 * Para cualquier función //f// que tenga función derivada, se cumple:
 * 1) si //f’//(x 0 ) > 0, entonces la función //f// es **estrictamente creciente** en x.
 * 2) si //f’//(x 0 ) < 0 entonces la función //f// es **estrictamente decreciente** en x.
 * Para encontrar los intervalos en los que crece o decrece una función que posee función derivada, debemos estudiar el signo de ésta.
 * 1) Hallamos la función derivada //f’// (x).
 * 2) Resolvemos las inecuaciones: //f’// (x) > 0
 * 3) Determinamos los intervalos de crecimiento en los que //f’// (x) > 0 y los intervalos de decrecimiento en los que //f’// (x) < 0.

<span style="color: navy; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 16pt;">5.2 Estudio de los extremos relativos de una función.

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">Cuando una función //f,// que posee función derivada, tiene en un punto de abscisa x un extremo relativo (máximo o mínimo), la recta tangente a su grafica es horizontal y su pendiente //f’// (x 0 ) es cero. Esto nos permite dar la siguiente definición: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">La propiedad anterior nos sirve de ayuda para la búsqueda de extremos relativos de una función, ya que estos solo pueden darse en los puntos en los que la función derivada se anula. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 16pt;">** Determinación de los extremos relativos de una función. ** <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">El criterio que sigue nos permite averiguar si en un punto en el que se anula la función derivada existe un máximo o un mínimo. <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">Simbólicamente:
 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">si una función //f// con función derivada tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto de abscisa x 0 entonces //f’//(x 0 )=0.
 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">Si una función //f//(x 0 ) verifica que //f’// (x 0<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif;">) <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif;"> = 0, entonces la función tiene en el punto de abscisa x :
 * 1) <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">un máximo relativo si la derivada segunda en x 0 es negativa.
 * 2) <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">un mínimo relativo si la derivada segunda en x 0 es positiva.

<span style="color: #066f06; font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;"> ACTIVIDADES RESUELTAS <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">**8. Estudia la monotonía de los extremos relativos de la función .** <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">- Hallamos la función derivada //f’//(x)=2x-6 - Resolvemos las inecuaciones //f’//(x)> ó < 0. Para ello: 2x-6=0 à x=3 - Estudiamos el signo de la función derivada y deducimos: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">- La raíz de //f’// (x)= 0 es x=3. hallamos el signo de //f’’//(3): //f’//(x) = 2x-6; //f’’//(x) = D[2x-6] = 2 //f’// (3) = 0; //f’’// (3) >0 à //f// tiene un mínimo relativo en (3, //f//(3))=(3,-4) que se corresponde con el vértice de la parábola del gráfico.
 * __<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">MONOTONÍA: __
 * __<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 110%;">EXTREMOS RELATIVOS: __