6.+Optimización+de+funciones


 * 6. Optimización de funciones **

 Con frecuencia hay que resolver las situaciones del tipo: construir un envase determinado utilizando la menor cantidad de material posible; determinar la figura que encierra la mayor área con un perímetro fijo; minimizar un coste; maximizar un rendimiento, un volumen, etc. Estas situaciones son problemas de optimización. Los problemas de optimización se reducen a encontrar los extremos relativos de una función, como podemos ver a continuación: Si llamamos x a una de las dos partes, la otra será 12-x. El producto de ambas es: Debemos encontrar, si existe, el valor máximo de la función anterior para los valores de comprendidos en el intervalo [0,12]. Hacemos un estudio de la función sin utilizar la función derivada, obteniendo una tabla con algunos valores.  Se observa, tanto en los valores de la tabla como en la grafica del margen, que el producto máximo, 36, se obtiene cuando se divide a 12 en dos partes iguales, 6 y 6.
 * ¿En que dos partes debe dividirse el numero 12 para que su producto alcance el máximo valor posible? **

La misma solución puede encontrarse de forma inmediata sin mas que aplicar el criterio de determinación de los extremos relativos de una funcion, a la funcion f(x) = -x 2 + 12x :

// f´ //(//x//) = -2//x// + 12;-2//x// + 12 = 0 à x = 6 //f´´//(//x//) = -2

tiene un máx. relativo en //x// = 6 Es decir, como observamos en la tabla y en la grafica, el producto maximo se obtiene para //x// = 6, 12 – //x// = 6. Para optimizar funciones seguimos los siguientes pasos:
 * Optimizacion de funciones: **
 * 1) Escribir la funcion que deseamos optimizar.
 * 2) Si la funcion tiene mas de una variable, relacionar las variables con los datos del enunciado para conseguir una funcion de una variable.
 * 3) Obtener los maximos y minimos de una funcion.
 * 4) Comprobar que los resultados obtenidos tienen sentido y se adecuan a las condiciones del enunciado.

ACTIVIDADES RESUELTAS  Llamamos x e y a los lados de la finca rectangular. · La función que deeamos optimizar es: A(x)=x · y ·  Buscamos la relación entre las variables x e y:  <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">2x+2y=500; y=250-x <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">Por lo que la función que redesea optimizar es: · Obtenemos los extremos relativos de esta función: <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;"> · Por tanto las dimensiones de la finca de mayor superficie son:
 * 9.¿Qué dimensiones tendrá la finca rectangular de superficie máxima que se puede cercar con una valla de 500 metros? **

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">Llamamos a x e y a los lados de la finca.
 * 10. Un agricultor quiere vallar una finca rectangular uno de cuyos lados limita con un río.Sólo pìensa vallar los tres lados restantes y quiere saber si el coste mínimo es que tendrá que pagar si el metro de valla vale a 8 euros y la finca tiene una superficie de <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">[[image:7.JPG]]. **

<span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">Por tanto la función optimizar es:
 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">La función a optimizar es:
 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">Entre ambas variables x, y se verifica la relación:
 * <span style="font-family: 'Times New Roman',Times,serif; font-size: 12pt;">Obtenemos los extremos relativos de esta función: